Ģeometrisko objektu, ko vēlāk sauca par "Kleina pudeli", 1882. gadā pirmo reizi aprakstīja vācu matemātiķis Fēlikss Kleins. Ko viņš pārstāv? Šis objekts (vai drīzāk ģeometriskā vai topoloģiskā virsma) vienkārši nevar pastāvēt mūsu trīsdimensiju pasaulē. Visiem modeļiem, kas tiek pārdoti suvenīru veikalos, ir tāds izskats, kas sniedz tikai neskaidru priekšstatu par to, kas ir Kleina pudele.
Lai iegūtu lielāku skaidrību, tas ir aprakstīts šādi: iedomājieties pudeli ar ļoti garu kaklu. Pēc tam garīgi izveidojiet tajā divus caurumus: vienu sienā un otru apakšā. Pēc tam salieciet kaklu, ievietojiet to caurumā sienā un izvelciet caur caurumu apakšā. Iegūtais objekts būs četrdimensiju kosmosa objekta, kas ir īstā Kleina pudele, projekcija mūsu trīsdimensiju telpā.
Kleina pudeles apraksts matemātikas terminu valodā vaiformulas nespeciālistam neko nepateiks. Vai šāda definīcija apmierinās daudzus cilvēkus: Kleina pudele ir neorientējams kolektors (vai virsma), kam ir vairākas īpašības. Pēc vārda "īpašības" varat izveidot garu sēriju, kas sastāv no trigonometriskām funkcijām, cipariem un grieķu un latīņu burtiem. Taču tas var tikai mulsināt nesagatavotu cilvēku, kuram jau ir priekšstats par to, kas ir pudeles projekcija trīsdimensiju telpā.
Interesants fakts: nosaukums “Kleina pudele” šim objektam dots, visticamāk, tulkotājas kļūdas vai drukas kļūdas dēļ. Fakts ir tāds, ka Kleins savā definīcijā izmantoja vārdu Fläche, tas ir, “virsma” vācu valodā. "Ceļojot" no Vācijas uz citām valstīm, šis vārds tika pārveidots līdzīgā rakstībā Flasche (pudele). Pēc tam termins atgriezās izcelsmes valstī jaunā, pārveidotā formā un palika tāds uz visiem laikiem.
Daudziem kultūras darbiniekiem (galvenokārt zinātniskās fantastikas rakstniekiem) pats termins "Kleina pudele" izrādījās pievilcīgs. Tās izmantošana kā atribūts un dažreiz galvenā varone ir kļuvusi par "intelektuālās" fantastikas zīmi. Tāds, piemēram, ir stāsts "Pēdējais iluzionists", ko sarakstījis Brūss Eliots. Stāstā burvju mākslinieka palīgs uzbrūk savam mecenātam, kurš darīja trikus ar četrdimensiju Kleina pudeli. Iluzionists, kurš uzkāpa pudelē, paliek tajā līdz pusei iegrimis. Pēc autora domām, šo pudeli nevar salauzt, nesabojājot saturu. Vai tiešām tā - nevar pateiktneviens. Vismaz matemātiķus, kuri, iespējams, varētu atbildēt uz šo jautājumu, tas neapjuka, jo zinātnei tas nav svarīgi.
Dažkārt īpaši izgatavotās Klein pudelēs reklāmas nolūkos pilda vīnu. Tiesa, izgatavot šādu stikla pudeli ir tehniski sarežģīti, tam nepieciešams ekstra klases stikla pūtējs. Tāpēc tam ir diezgan augstas izmaksas, un to izmanto reti. Un tehnoloģiju attīstībai un šādu pudeļu ražošanai uz plūsmas nav jēgas, jo šim nolūkam būs jāizstrādā pudeles iepildīšanas metode ar šķidrumu (arī šeit ir grūtības). Un neparastuma un novitātes sajūtu ātri nomainīs neērtības, kas rodas, ielejot vīnu no šādas pudeles glāzēs.
