30. gados Džons fon Neimans un Oskars Morgenšterns kļuva par jaunas un interesantas matemātikas nozares, ko sauc par "spēles teoriju", dibinātājiem. 50. gados jaunais matemātiķis Džons Nešs sāka interesēties par šo virzienu. Līdzsvara teorija kļuva par viņa disertācijas priekšmetu, kuru viņš uzrakstīja 21 gada vecumā. Tā radās jauna spēles stratēģija ar nosaukumu "Neša līdzsvars", kas daudzus gadus vēlāk - 1994. gadā - ieguva Nobela prēmiju.
Ilgā starpība starp disertācijas rakstīšanu un vispārēju atzinību ir kļuvusi par pārbaudījumu matemātiķim. Ģenialitāte bez atzinības izraisīja nopietnus garīgus traucējumus, bet Džons Nešs šo problēmu spēja atrisināt, pateicoties savam izcilajam loģiskajam prātam. Viņa Neša līdzsvara teorija saņēma Nobela prēmiju, un viņa dzīve tika filmēta skaistā prātā.
Īsumā par spēļu teoriju
Tā kā Neša līdzsvara teorija izskaidro cilvēku uzvedību mijiedarbības apstākļos, ir vērts apsvērt spēļu teorijas pamatjēdzienus.
Spēļu teorija pēta dalībnieku (aģentu) uzvedību savstarpējā mijiedarbībā kā spēle, kad rezultāts ir atkarīgs no vairāku cilvēku lēmuma un uzvedības. Dalībnieks pieņem lēmumus, pamatojoties uz savām prognozēm par citu uzvedību, ko sauc par spēles stratēģiju.
Pastāv arī dominējoša stratēģija, kurā dalībnieks iegūst vislabāko rezultātu par citu dalībnieku uzvedību. Šī ir spēlētāja labākā abpusēji izdevīgā stratēģija.
Ieslodzīto dilemma un zinātnes sasniegums
Ieslodzīto dilemma ir spēles gadījums, kad dalībnieki ir spiesti pieņemt racionālus lēmumus, alternatīvu konflikta apstākļos sasniedzot kopīgu mērķi. Jautājums ir, kuru no šīm iespējām viņš izvēlēsies, apzinoties personīgās un vispārējās intereses, kā arī neiespējamību iegūt abus. Šķiet, ka spēlētāji ir ieslodzīti sarežģītā spēles vidē, kas dažreiz liek viņiem domāt ļoti produktīvi.
Šo dilemmu izpētīja amerikāņu matemātiķis Džons Nešs. Līdzsvars, ko viņš panāca, bija revolucionārs savā veidā. Īpaši spilgti šī jaunā doma ietekmēja ekonomistu viedokli par to, kā tirgus dalībnieki izdara izvēli, ņemot vērā citu intereses, cieši mijiedarbojoties un interesēm krustojoties.
Spēļu teoriju vislabāk ir pētīt, izmantojot konkrētus piemērus, jo šī matemātiskā disciplīna pati par sevi nav sausi teorētiska.
Ieslodzīto dilemmas piemērs
Piemēram, divi cilvēki veica laupīšanu, nokļuva policijas rokās un tiek pratināti atsevišķās kamerās. Vienlaikus policisti piedāvā katram dalībniekam labvēlīgus nosacījumus, ar kādiem viņš tiks atbrīvots, ja liecinās pret savu partneri. Katrs nonoziedzniekiem ir šādas stratēģijas, kuras viņš apsvērs:
- Abi sniedz liecības vienlaikus un saņem 2,5 gadus cietumā.
- Abi klusē vienlaikus un saņem katrs pa 1 gadu, jo šajā gadījumā viņu vainas pierādījumu bāze būs maza.
- Viens sniedz liecību un tiek atbrīvots, bet otrs klusē un saņem 5 gadus cietumā.
Acīmredzot lietas iznākums ir atkarīgs no abu dalībnieku lēmuma, taču viņi nevar vienoties, jo sēž dažādās kamerās. Tāpat skaidri redzams viņu personīgo interešu konflikts cīņā par kopīgām interesēm. Katram no ieslodzītajiem ir divas rīcības iespējas un 4 iznākuma iespējas.
Loģisko secinājumu ķēde
Tātad likumpārkāpējs A apsver šādas iespējas:
- Es klusu un partneris klusē - mēs abi saņemsim 1 gadu cietumā.
- Es atdodu savu partneri, un viņš mani – mēs abi saņemam 2,5 gadus cietumā.
- Es klusēju, un mans partneris mani nodod - es saņemšu 5 gadus cietumā, un viņš tiks atbrīvots.
- Es nododu savu partneri, bet viņš klusē - es saņemu brīvību, un viņš saņem 5 gadus cietumā.
Skaidrības labad dosim iespējamo risinājumu un rezultātu matricu.
Ieslodzītā dilemmas iespējamo iznākumu tabula.
Jautājums ir, ko katrs konkursa dalībnieks izvēlēsies?
"Esi kluss, tu nevari runāt" vai "Tu nevari klusēt, tu nevari runāt"
Lai saprastu dalībnieka izvēli, jāiziet viņa domu ķēde. Ievērojot noziedznieka A argumentāciju: ja es klusēšu un partneris klusēs, mēs saņemsim minimālo termiņu (1 gads), bet esEs nezinu, kā viņš uzvedīsies. Ja viņš liecina pret mani, tad labāk lai es liecinu, citādi varu nosēdēt uz 5 gadiem. Es labāk nosēdu 2,5 gadus, nevis 5 gadus. Ja viņš klusē, tad vēl jo vairāk man jāliecina, jo tā es iegūšu savu brīvību. Dalībnieks B.
Nav grūti saprast, ka katra vainīgā dominējošā stratēģija ir liecināt. Šīs spēles optimālais punkts pienāk, kad abi noziedznieki sniedz liecības un saņem savu "balvu" - 2,5 gadus cietumā. Neša spēļu teorija to sauc par līdzsvaru.
Neoptimāls optimālais Neša risinājums
Našja uzskatu revolucionārais raksturs ir tāds, ka šāds līdzsvars nav optimāls, ņemot vērā individuālo dalībnieku un viņa pašlabuma intereses. Galu galā labākais risinājums ir klusēt un atbrīvoties.
Neša līdzsvars ir interešu konverģences punkts, kur katrs dalībnieks izvēlas sev optimālo variantu tikai tad, ja citi dalībnieki izvēlas noteiktu stratēģiju.
Ņemot vērā iespēju, kad abi noziedznieki klusē un saņem tikai 1 gadu, to varam saukt par Pareto optimālo variantu. Taču tas iespējams tikai tad, ja noziedznieki spētu iepriekš vienoties. Taču arī tas negarantētu šo iznākumu, jo kārdinājums atkāpties no vienošanās un izvairīties no soda ir liels. Pilnīgas neuzticēšanās vienam otram trūkums un draudi, ka 5 gadi būs spiesti izvēlēties iespēju ar atzinību. Pārdomājiet, ko dalībnieki ievērosvariants ar klusēšanu, darbošanos saskaņoti ir vienkārši neracionāls. Šādu secinājumu var izdarīt, ja pētām Neša līdzsvaru. Piemēri tikai pierāda, ka jums ir taisnība.
Egoistisks vai racionāls
Neša līdzsvara teorija sniedza pārsteidzošus secinājumus, kas atspēkoja iepriekš pastāvošos principus. Piemēram, Ādams Smits katra dalībnieka uzvedību uzskatīja par pilnīgi savtīgu, kas noveda sistēmu līdzsvarā. Šo teoriju sauca par "tirgus neredzamo roku".
Džons Nešs redzēja, ka, ja visi dalībnieki rīkojas savās interesēs, tas nekad nenovedīs pie optimāla grupas rezultāta. Ņemot vērā, ka racionāla domāšana ir raksturīga katram dalībniekam, Neša līdzsvara stratēģijas piedāvātā izvēle ir lielāka iespēja.
Tīri vīriešu eksperiments
Spilgtākais piemērs ir blondīņu paradoksu spēle, kas, lai arī šķietami nevietā, skaidri parāda, kā darbojas Neša spēles teorija.
Šajā spēlē jums jāiedomājas, ka uz bāru ieradās brīvu puišu kompānija. Blakus ir meiteņu kompānija, no kurām viena ir labāka par citām, teiksim kāda blondīne. Kā puiši rīkojas, lai iegūtu sev labāko draudzeni?
Tātad, puišu argumentācija: ja visi sāks iepazīties ar blondīni, tad, visticamāk, neviens nesaņems, tad viņas draugi negribēs iepazīties. Neviens nevēlas būt otrais rezerves variants. Bet, ja zēni izvēlas izvairītiesblondīne, tad varbūtība, ka katrs no puišiem starp meitenēm atradīs sev labu draudzeni, ir liela.
Neša līdzsvara situācija puišiem nav optimāla, jo, dzenoties tikai uz savām savtīgajām interesēm, katrs izvēlētos blondīni. Redzams, ka dzīšanās pēc tikai savtīgām interesēm būs līdzvērtīga grupas interešu sabrukumam. Neša līdzsvars nozīmēs, ka katrs puisis darbojas savās interesēs, kas ir saskarē ar visas grupas interesēm. Šis nav labākais risinājums ikvienam personīgi, bet labākais ikvienam, pamatojoties uz vispārējo veiksmes stratēģiju.
Visa mūsu dzīve ir spēle
Lēmumu pieņemšana reālajā pasaulē ļoti līdzinās spēlei, kurā jūs sagaidāt noteiktu racionālu uzvedību arī no citiem dalībniekiem. Biznesā, darbā, kolektīvā, uzņēmumā un pat attiecībās ar pretējo dzimumu. No lieliem darījumiem līdz parastām dzīves situācijām viss atbilst vienam vai otram likumam.
Protams, iepriekš minētās spēles situācijas ar noziedzniekiem un bāru ir tikai lieliskas ilustrācijas, kas parāda Neša līdzsvaru. Šādu dilemmu piemēri ļoti bieži rodas reālajā tirgū, un tas īpaši darbojas gadījumos, kad tirgu kontrolē divi monopolisti.
Jauktas stratēģijas
Bieži vien esam iesaistīti nevis vienā, bet vairākās spēlēs uzreiz. Izvēloties vienu no iespējām vienā spēlē, vadoties pēc racionālas stratēģijas, bet jūs nonākat citā spēlē. Pēc dažiem racionāliem lēmumiem jūs varat atklāt, ka jūsu rezultāts jums nepatīk. Kasņemt?
Apsvērsim divu veidu stratēģijas:
- Tīra stratēģija ir dalībnieka uzvedība, kas rodas, domājot par citu dalībnieku iespējamo uzvedību.
- Jauktā stratēģija jeb izlases stratēģija ir tīru stratēģiju maiņa pēc nejaušības principa vai tīras stratēģijas izvēle ar noteiktu varbūtību. Šo stratēģiju sauc arī par randomizētu.
Ņemot vērā šo uzvedību, mēs iegūstam jaunu skatījumu uz Neša līdzsvaru. Ja agrāk tika teikts, ka spēlētājs vienu reizi izvēlas stratēģiju, tad var iedomāties citu uzvedību. Var pieņemt, ka spēlētāji izvēlas stratēģiju nejauši ar noteiktu varbūtību. Spēles, kurās nevar atrast Neša līdzsvaru tīrās stratēģijās, vienmēr ir jauktās stratēģijās.
Neša līdzsvaru jauktās stratēģijās sauc par jaukto līdzsvaru. Tas ir līdzsvars, kurā katrs dalībnieks izvēlas optimālo savu stratēģiju izvēles biežumu, ja citi dalībnieki izvēlas savas stratēģijas ar noteiktu biežumu.
Sodi un jaukta stratēģija
Jauktas stratēģijas piemēru var atrast futbola spēlē. Labākais jauktās stratēģijas piemērs, iespējams, ir soda sitienu sērija. Tātad mums ir vārtsargs, kurš var lēkt tikai vienā stūrī, un spēlētājs, kurš izpildīs sodu.
Tātad, ja pirmajā reizē spēlētājs izvēlas sitienu pa kreiso stūri, un vārtsargs arī iekrīt šajā stūrī un noķer bumbu, kā situācija var attīstīties otrajā reizē? Ja spēlētājstrāpīs pretējā stūrī, tas, visticamāk, ir pārāk acīmredzami, bet sitiens tajā pašā stūrī ir ne mazāk acīmredzams. Tāpēc gan vārtsargam, gan sitienam neatliek nekas cits, kā paļauties uz nejaušu izvēli.
Tādējādi, mainot nejaušu atlasi ar noteiktu tīru stratēģiju, spēlētājs un vārtsargs cenšas iegūt maksimālo rezultātu.
